Фрактальная поверхность – поверхность, сгенерированная с использованием определенного алгоритма, который имитирует внешний вид природной местности. Фрактальную поверхность можно получить путем сложения простейших фрактальных поверхностей, которые, в свою очередь, строятся на основе однозначных фрактальных кривых путем операций трансляции, масштабирования и поворота. Параметр D, характеризующий фрактальную поверхность, дает исчерпывающую информацию о поверхности, в частности о её форме и нерегулярности.

В данной работе была смоделирована фрактальная поверхность с использованием графической среды NI LabVIEW. На рисунке 1 представлена простейшая фрактальная поверхность, построенная по функции Вейерштрасса путем трансляции ее значений вдоль направления Y. Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:

ф1

  На основе данной простейшей поверхности была смоделирована результирующая поверхность, имитирующая рельеф местности, 3D-модель которой изображена на рисунке 2.

1
Рисунок­­ 1 – Простейшая фрактальная поверхность
по функции Вейерштрасса
2
Рисунок 2 – 3D-модель фрактальной поверхности
 

В ходе работы для определения фрактальной размерности D исследуемой поверхности был использован метод Расса. Он заключается в построении зависимости размаха R от величины r. Размахом R называется максимальный перепад высоты z поверхности в пределах расстояния r в плоскости XY.

ф2

Линейная аппроксимация зависимости lgR(lgr) позволяет определить тангенс угла наклона β, равный коэффициенту Херста H = β, и фрактальную размерность D = 3–H.

Определение фрактальной размерности D даёт возможность рассчитать площадь данной поверхности:

ф3

где величина δ - линейный масштаб, соответствующий высотам неоднородностей, α – масштабный безразмерный множитель, α<1, S0 – проекция поверхности на плоскость.

 Определенному значению площади S соответствует значение коэффициента измерительного масштаба α.  В работе использовано значение α=1/256, характеризующее размер накладываемой сетки, практически соответствует наименьшему значению, которое может быть использовано для программной обработки изображений.

Варьируя параметры a и b функции Вейерштрасса, были получены различные значения фрактальной размерности D и площади поверхности S.

Из полученных значений видно, что с увеличением фрактальной размерности поверхности растет и значение её площади. Таким образом, чем более «изрезана» и нерегулярна поверхность, тем больше будут значения её фрактальной размерности и площади.

Список литературы

1. Ю.К. Евдокимов, Р.К. Сагдиев, Л.Ю. Фадеева, Высокоточные измерения положения механической руки робота в субмикронных и наномикронных перемещениях с использованием емкостного датчика // Использование цифровых средств обучения и робототехники в общем и профессиональном образовании: опыт, проблемы, перспективы: сборник научных статей III Международной научно – практической конференции, Барнаул, 2-3 ноября 2017 г. – Барнаул: Изд – во Алт. Ун-та, 2017. – С. 52-54

2. Ю.К. Евдокимов, Р.К. Сагдиев, Л.Ю. Фадеева, Характеристика преобразования емкостного датчика субмикронных и наноразмерных перемещений с учетом шероховатости поверхности электродов // Проблемы получения, обработки и передачи измерительной информации: I Международная научно – техническая конференция. – Уфа: Изд-во УГАТУ, 2017. – С. 102 – 104